Biografias

O QUE É NUMERO Pi?

NUMERO PI
Na matemática, o número $\scriptstyle{\pi}$ é uma proporção numérica que tem origem na relação entre o perímetro de umacircunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro

\scriptstyle p

e diâmetro

\scriptstyle d,

então aquele número é igual a

\scriptstyle p/d.

É representado pela letra grega ?. A letra grega ? (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "??????????", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circularou número de Ludolph.

Notação

Os primeiros a utilizarem a letra grega $\scriptstyle{\pi}$ foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual1 foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.

§Valor de $\pi$

O valor de

\pi

pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar

{\pi}

por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima

\pi

por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar

\pi \cong 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058

com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de

\pi

através de algoritmos computacionais.

Um engenheiro japonês e um estudante americano de ciências da computação calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o equivalente a 6 terabytes de dados.

A aproximação do número pi até a tricentésima casa decimal: $\scriptstyle{\pi}$ = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273

Aproximações para $\pi$

Desde a Antiguidade, foram encontradas várias aproximações de

\pi

para o cálculo da área do círculo.5 Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a

\pi

seria

\scriptstyle \left ( \frac{4}{3} \right )^4,

embora também seja encontrado o valor

\scriptstyle 3 \frac{1}{6}.

Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de

\pi

. Entre os babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor

\scriptstyle 3 \frac{1}{8}

já ser conhecido como aproximação

Métodos de cálculo

Existem muitas formas de se obter o valor aproximado de

\pi

através de métodos numéricos. Consideramos que [[

\pi

]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

§Método clássico para o cálculo de $\pi$

Método clássico para o cálculo de

\pi

A primeira tentativa rigorosa de encontrar

\pi

deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

A "busca" pelo valor de

{\pi}

chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung Chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000".

Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de

c = \pi \cdot d:

(4 + 100) \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

104 \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

832 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

62832 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

{62832 \over 20000} \approx \pi

O valor de

{\pi},

portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.

O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe Ghiyath al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de

{\pi}

com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de

{\pi}

com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para

{\pi}.

Uma aproximação de

{\pi}

que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

{355 \over 113} \approx \pi

§

Formulação matemática do método de Arquimedes

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

l^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos \alpha

l^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cos \alpha

l^2 = 2 - 2\cos \alpha

l = \sqrt{2 - 2\cos \alpha}

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

l = \sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

p = n.\sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}

Como

\pi

é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

\pi = \frac{n.\sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}}{2}

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

\pi = n.sen\left(\frac{180}{n} \right)

Métodos estatísticos

Método Estatístico de Monte-Carlo para o Cálculo de

Outro método interessante para o cálculo de

\pi

pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas

O = (0, 0)

B = (1, 1).

Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados

c_n = (x_n, y_n)

até a origem O = (0, 0).

\pi

pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.

No exemplo ao lado ,

\pi \cong 4 \cdot 386 / 500 = 3.088

Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de

\pi

é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIIIpelo naturalista francês Georges de Buffon.

Métodos de séries infinitas

O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de

\pi

em 1593:

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdot \dots = \frac{2}{\pi}

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655:

\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2}.

Outra série conhecida para o cálculo de

\pi

foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=

\pi

/4.

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}.

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{\cdots}}}}}}

Métodos de cálculo numérico

Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função

f(x) = sin (x)

sabemos que

f(\pi) = sin (\pi) = 0.

Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função

f(x)

podem incluir uma busca binária no intervalo

[a, b]

onde se sabemos que

f(3) = sin (3) > 0

(a = 3)

f(4) = sin (4) < 0

(b = 4)

então podemos aprimorar o intervalo para:

[a, {{a+b} \over 2}],

f({{a+b} \over 2}) < 0

[{{a+b} \over 2}, b],

f({{a+b} \over 2}) >= 0

Partindo-se do intervalo

\pi \in [3, 4]

esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

$\pi \in [3, 3.5]$
$\pi \in [3, 3.25]$
$\pi \in [3.125, 3.25]$
$\pi \in [3.125, 3.1875]$

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função

f(x) = sin (x)

utilizando um ponto inicial

x_0

exigindo que conheçamos

f'(x) = cos (x).

Tomando-se

x_0 = 3

e considerando-se que por Newton-Rapson

x_{i+1} = x_i - {{f(x_i)} \over {f'(x_i)}} = x_i - {{sin(x_i)} \over {cos(x_i)}}= x_i - {{tan(x_i)}},

temos a seguinte série para

\pi

$x_0 = 3$
$x_1 = 3,14254654$
$x_2 = 3,14159265$

Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de

\pi

através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

x_{i+1} = x_i + sin(x_i),

pois na proximidade de

\pi,

cos (x_i) \cong -1.

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se

\pi

como trancendental, uma vez que a função

f(x) = sin (x)

não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função

f(x) = sin (x)

é obtida através da expansão da série de Taylor.

Algoritmo de Gauss-Legendre

O Algoritmo de Gauss-Legendre, que é um método de cálculo numérico de aproximações succesivas, foi utilizado por Yasumasa Kanada para obter o recorde mundial no cálculo de casas decimais de pi em 2002.12

§Método de cálculo isolado das decimais ${\pi}$

Em 1995, David Harold Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de ?, uma soma infinita (frequentemente chamada fórmula BBP):

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de

{\pi}

sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de

{\pi}

em base 2 foi obtido em 2001.

§Grandezas que dependem de $\pi$

Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante

\pi,

as mais conhecidas a nível didático são:

Perímetro de uma circunferência: $C = 2 \cdot \pi \cdot r$
Área do círculo : $A = \pi \cdot r^2$
Volume de uma esfera: $V = {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3$

\pi

também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física.

Irracionalidade e transcendência de $\pi$

O perímetro da circunferência é 3,1416... vezes maior que o diâmetro, sendo a razão perímetro/diâmetro o

\pi

(pi)

Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se

\scriptstyle x

é racional e diferente de

\scriptstyle 0,

então nem

\scriptstyle tan (x),

nem

\scriptstyle e^x

podem ser racionais . Como

\scriptstyle \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)=1,

segue-se que

\scriptstyle\frac{\pi}{4}

é irracional, e portanto que

\scriptstyle \pi

é irracional.

Lindemann provou em 1882 que

\pi

é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que

\pi

não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de

{\pi}

estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

§Questões sem resposta

A questão em aberto mais importante é a de saber se

{\pi}

é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de

{\pi},

como seria de se esperar em uma sequência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10.

Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de

{\pi}.

Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula Bailey-Borwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de

{\pi}

em base 2.

Cronologia do cálculo de $\pi$

Matemático	Ano	Casas Decimais
Egípcios (Papiro de Rhind)	1650 A.C.	1
Arquimedes	250 A.C.	3
Zu Chongzhi	480 D.C.	7
Ghiyath al-Kashi	1424	16
Ludolph van Ceulen	1596	35
Georg von Vega	1794	126
Gauss	1824	200
William Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Jean Guilloud, M. Bouyer	1973	1.000.000
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Chudnovskys	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000
Daisuke Takahashi	2009	2.576.980.370.000 15
Fabrice Bellard	2010	2.699.999.990.000 16
Shigeru Kondo & Alexander Yee	2010/08/02	5.000.000.000.000 17
Shigeru Kondo & Alexander Yee	2011	10.000.000.000.000 18
The Santa Clara University	2013	8.000.000.000.000.000 19

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